Petualangan Matematika 2D Pixel
Lumina Forest
Bantu Ika si Kucing Orange keluar dari hutan matematika misterius dan berubah kembali menjadi manusia!
Terdapat petualangan yang tertunda di Zona 1 (Soal 0/108)
Bantu Ika si Kucing Orange keluar dari hutan matematika misterius dan berubah kembali menjadi manusia!
Terdapat petualangan yang tertunda di Zona 1 (Soal 0/108)
Soal akan diacak dari materi Eksponen, Bentuk Akar, Logaritma, SPLTV, Barisan & Deret, Sains Pengukuran, Vektor & Resultan, Persamaan, serta Pertidaksamaan.
Pilih pulau dan materi untuk memulai belajar
Duh, kepalaku pusing banget... Kenapa tanganku jadi berbulu oranye gini?!
Eksponen menyatakan perkalian berulang dari suatu bilangan pokok.
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional.
Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponensial.
Barisan bilangan dengan pola pertambahan atau pengurangan beda (b) yang tetap.
Barisan bilangan dengan pola pelipatan atau pembagian rasio (r) yang tetap.
Deret geometri dengan banyaknya suku menuju tak hingga (n -> tak hingga).
Penerapan konsep aritmatika dan geometri pada konteks keuangan dan fenomena nyata.
• M_0 / P_0 = Modal atau nilai kuantitas awal mula-mula
• M_n / P_n = Modal atau nilai kuantitas setelah n periode
• i = Suku bunga atau laju pertumbuhan/peluruhan per periode
• n = Banyaknya periode waktu (bulan, tahun, triwulan, dsb.)
Rangkuman visual lengkap SPLDV & SPLKDV: metode penyelesaian, aturan Cramer, sifat grafik, dan trik kilat!
SPLTV adalah kumpulan 3 persamaan linear yang masing-masing memuat 3 variabel yang belum diketahui (biasanya x, y, z).
Bayangkan kamu membeli buah misterius:
• x = Harga 1 Apel 🍎 | y = Harga 1 Jeruk 🍊 | z = Harga 1 Mangga 🥭
Aturan Emas: Karena ada 3 hal misterius yang ingin ditebak, kita wajib punya 3 struk belanja (3 persamaan) agar semua harga bisa dihitung secara pasti!
SPLTV dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks $A \cdot X = B$:
A. Menggunakan Eliminasi-Substitusi:
1. Kurangkan (1) dan (2): $(x + y + z) - (x - y + z) = 6 - 2 \implies 2y = 4 \implies \mathbf{y = 2}$
2. Jumlahkan (1) dan (3): $(x + y + z) + (2x + y - z) = 6 + 1 \implies 3x + 2y = 7$
3. Masukkan $y=2$: $3x + 2(2) = 7 \implies 3x + 4 = 7 \implies 3x = 3 \implies \mathbf{x = 1}$
4. Masukkan $x=1, y=2$ ke (1): $1 + 2 + z = 6 \implies \mathbf{z = 3}$
B. Menggunakan Aturan Cramer & Metode Sarrus:
• Hitung $D$:
$$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [1(-1)(-1) + 1(1)(2) + 1(1)(1)] - [2(-1)(1) + 1(1)(1) + (-1)(1)(1)]$$
$$D = [1 + 2 + 1] - [-2 + 1 - 1] = 4 - (-2) = \mathbf{6}$$
• Hitung $D_x$:
$$D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [6(1) + 1(1)(1) + 1(2)(1)] - [1(-1)(1) + 1(1)(6) + (-1)(2)(1)] = [6 + 1 + 2] - [-1 + 6 - 2] = 9 - 3 = \mathbf{6}$$
• Nilai $x = \frac{D_x}{D} = \frac{6}{6} = \mathbf{1}$, $y = \frac{D_y}{D} = \frac{12}{6} = \mathbf{2}$, $z = \frac{D_z}{D} = \frac{18}{6} = \mathbf{3}$.
✨ Himpunan Penyelesaian: $\mathbf{(x, y, z) = (1, 2, 3)}$.
Besaran pokok adalah besaran yang satuannya telah ditetapkan secara internasional dan tidak diturunkan dari besaran lain.
| Besaran Pokok | Satuan SI | Simbol Satuan | Dimensi |
|---|---|---|---|
| Panjang | meter | $\text{m}$ | $[\text{L}]$ |
| Massa | kilogram | $\text{kg}$ | $[\text{M}]$ |
| Waktu | sekon | $\text{s}$ | $[\text{T}]$ |
| Suhu Termodinamika | Kelvin | $\text{K}$ | $[\theta]$ |
| Kuat Arus Listrik | Ampere | $\text{A}$ | $[\text{I}]$ |
| Intensitas Cahaya | kandela | $\text{cd}$ | $[\text{J}]$ |
| Jumlah Zat | mol | $\text{mol}$ | $[\text{N}]$ |
• Besaran Vektor: Memiliki nilai dan arah (contoh: Perpindahan, Kecepatan, Gaya, Percepatan, Momentum, Impuls).
• Besaran Skalar: Hanya memiliki nilai tanpa arah (contoh: Jarak, Kelajuan, Massa, Waktu, Suhu, Energi, Volume).
Dimensi menunjukkan cara suatu besaran turunan tersusun dari besaran-besaran pokok penyusunnya.
Dua besaran fisik hanya dapat dijumlahkan, dikurangkan, atau dinyatakan setara jika memiliki dimensi yang identik. Contoh: Energi Kinetik ($E_k = \frac{1}{2}mv^2$) dan Usaha ($W = F \cdot s$) keduanya berdimensi $[M][L]^2[T]^{-2}$.
Setiap alat ukur memiliki batas ketelitian (skala terkecil) yang menentukan presisi hasil pengukuran.
| Alat Ukur | Besaran | Ketelitian (Skala Terkecil) | Fungsi Utama |
|---|---|---|---|
| Mistar (Penggaris) | Panjang | $0{,}1\text{ cm} = 1\text{ mm}$ | Mengukur panjang benda bidang datar |
| Jangka Sorong | Panjang | $0{,}01\text{ cm} = 0{,}1\text{ mm}$ | Diameter luar, diameter dalam celah/cincin, kedalaman tabung |
| Mikrometer Sekrup | Panjang | $0{,}01\text{ mm} = 0{,}001\text{ cm}$ | Ketebalan lembaran tipis (kertas/pelat seng), diameter kawat |
| Neraca Ohaus Tiga Lengan | Massa | $0{,}1\text{ gram} = 0{,}01\text{ gram}$ | Mengukur massa zat/benda padat di laboratorium |
| Neraca Analitis Digital | Massa | $0{,}0001\text{ gram} = 0{,}1\text{ mg}$ | Menimbang sampel zat kimia dengan presisi mikro |
| Stopwatch Analog / Digital | Waktu | $0{,}1\text{ s} / 0{,}01\text{ s}$ | Mengukur selang waktu fenomena atau gerak benda |
• Format pelaporan: x = (x_0 +- \Delta x)
• Contoh: Mistar dengan skala terkecil $1\text{ mm} \implies \Delta x = \frac{1}{2} \times 1\text{ mm} = 0{,}5\text{ mm} = 0{,}05\text{ cm}$.
Pengukuran berulang dilakukan sebanyak $N$ kali ($N \ge 3$) untuk meminimalkan kesalahan acak dan memperoleh nilai terbaik yang mendekati nilai sesungguhnya.
| Ketidakpastian Relatif ($KR$) | Aturan Penulisan Angka Penting | Format Pelaporan Hasil |
|---|---|---|
| Sekitar $10\%$ ($KR \approx 10\%$) | Berhak atas 2 Angka Penting | $x = (\bar{x} \pm \Delta x)$ (2 AP) |
| Sekitar $1\%$ ($KR \approx 1\%$) | Berhak atas 3 Angka Penting | $x = (\bar{x} \pm \Delta x)$ (3 AP) |
| Sekitar $0{,}1\%$ ($KR \approx 0{,}1\%$) | Berhak atas 4 Angka Penting | $x = (\bar{x} \pm \Delta x)$ (4 AP) |
Data diameter kelereng ($x_i$ dalam mm): $12{,}2; 12{,}3; 12{,}2; 12{,}4; 12{,}3$.
• $N = 5, \, \sum x_i = 61{,}4\text{ mm}, \, \sum x_i^2 = 753{,}98\text{ mm}^2$
• Nilai Rata-rata: $\bar{x} = \frac{61{,}4}{5} = 12{,}28\text{ mm}$
• Ketidakpastian Mutlak: $\Delta x = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5(753{,}98) - (61{,}4)^2}{5 - 1}} \approx 0{,}037\text{ mm}$
• Ketidakpastian Relatif: $KR = \frac{0{,}037}{12{,}28} \times 100\% \approx 0{,}3\% \implies$ Dilaporkan dengan 3 AP atau 4 AP: $(12{,}28 \pm 0{,}04)\text{ mm}$.
Angka penting adalah seluruh angka yang diperoleh dari hasil pengukuran nyata, terdiri atas angka pasti (eksak) dan satu angka taksiran (ragu-ragu).
Hasil akhir hanya mengandung 1 angka taksiran (mengikuti jumlah desimal tersedikit).
Hasil akhir mengikuti jumlah AP paling sedikit dari bilangan yang dioperasikan.
Hasil akhir memiliki jumlah AP yang sama dengan bilangan aslinya.
Hasil akhir mengikuti jumlah AP dari bilangan hasil pengukuran (bilangan eksak punya $\infty$ AP).
• Jika angka tepat 5 didahului angka ganjil $\implies$ dibulatkan ke atas (misal: $4{,}35 \to 4{,}4$).
• Jika angka tepat 5 didahului angka genap $\implies$ dibulatkan ke bawah / tetap genap (misal: $4{,}65 \to 4{,}6$).
Notasi ilmiah digunakan untuk menuliskan bilangan yang bernilai sangat besar atau sangat kecil secara ringkas dan terstandarisasi.
• a = bilangan pokok / mantisa ($1 \le |a| < 10$)
• n = orde magnitudo / eksponen bulat ($n > 0$ untuk bilangan besar, $n < 0$ untuk pecahan desimal)
| Awalan SI | Simbol | Faktor Pengali | Contoh Penulisan |
|---|---|---|---|
| Tera | $\text{T}$ | $10^{12} = 1.000.000.000.000$ | $1\text{ TB} = 10^{12}\text{ byte}$ |
| Giga | $\text{G}$ | $10^9 = 1.000.000.000$ | $5\text{ GHz} = 5 \times 10^9\text{ Hz}$ |
| Mega | $\text{M}$ | $10^6 = 1.000.000$ | $2{,}5\text{ MW} = 2{,}5 \times 10^6\text{ W}$ |
| Kilo | $\text{k}$ | $10^3 = 1.000$ | $4\text{ km} = 4 \times 10^3\text{ m}$ |
| Hekto / Deka | $\text{h / da}$ | $10^2 / 10^1$ | $1\text{ hPa} = 100\text{ Pa}$ |
| Desi / Senti | $\text{d / c}$ | $10^{-1} / 10^{-2}$ | $15\text{ cm} = 15 \times 10^{-2}\text{ m}$ |
| Mili | $\text{m}$ | $10^{-3} = 0{,}001$ | $3\text{ mg} = 3 \times 10^{-3}\text{ g}$ |
| Mikro | $\mu$ | $10^{-6} = 0{,}000001$ | $6\text{ }\mu\text{m} = 6 \times 10^{-6}\text{ m}$ |
| Nano | $\text{n}$ | $10^{-9}$ | $500\text{ nm} = 5 \times 10^{-7}\text{ m}$ |
| Piko | $\text{p}$ | $10^{-12}$ | $12\text{ pF} = 1{,}2 \times 10^{-11}\text{ F}$ |
Vektor adalah besaran fisika yang memiliki besar (magnitudo) dan arah. Berbeda dengan besaran skalar yang hanya memiliki nilai saja.
• Skalar: hanya nilai/besar → Suhu (30°C), Massa (5 kg), Kecepatan (60 km/jam)
• Vektor: nilai + arah → Perpindahan (5 m ke utara), Gaya (10 N ke kanan), Kecepatan (60 km/jam ke barat)
Ringkasan visual lengkap: bentuk standar, rumus ABC, sifat diskriminan, teorema Vieta, kasus penting, faktorisasi, dan pengingat cepat!
| Diskriminan (D) | Sifat Akar | Kondisi |
|---|---|---|
| D > 0 | Dua akar real berbeda | $b^2 - 4ac > 0$ |
| D = 0 | Dua akar real sama (kembar) | $b^2 - 4ac = 0$ |
| D < 0 | Dua akar imajiner berbeda | $b^2 - 4ac < 0$ |
Persamaan adalah kalimat terbuka matematika yang memuat tanda kesetaraan ($=$). Peubah yang dicari solusinya disebut akar persamaan.
• Langkah 1: Kumpulkan semua suku yang memuat variabel $x$ di ruas kiri.
• Langkah 2: Pindahkan semua konstanta bilangan biasa ke ruas kanan (jangan lupa balikkan tanda $+$ menjadi $-$ dan sebaliknya).
• Langkah 3: Bagi konstanta di ruas kanan dengan koefisien di depan $x$. Selesai!
Nilai mutlak $|x|$ menyatakan jarak suatu bilangan ke titik nol pada garis bilangan, sehingga nilainya selalu bernilai non-negatif ($\ge 0$).
Pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang memuat tanda relasi $<, >, \leq,$ atau $\geq$. Penyelesaiannya umumnya berupa himpunan interval bilangan.
Vektor adalah ruas garis berarah yang memiliki panjang (magnitudo/nilai) dan arah tertentu. Pada Kurikulum Merdeka Matematika Kelas 10 Semester 1, bab vektor berfokus pada representasi analitis & geometris pada bidang Cartesius ($\mathbb{R}^2$), komponen vektor, operasi aljabar, vektor satuan, resultan dan arah, perkalian titik (dot product), serta proyeksi ortogonal.
• Titik Pangkal (Initial Point): Titik awal mulainya vektor.
• Titik Ujung (Terminal Point): Titik akhir berpanah yang menunjukkan arah vektor.
• Panjang / Modulus ($|\vec{u}|$): Jarak skalar positif dari titik pangkal ke titik ujung.
• Arah ($\theta$): Sudut inklinasi yang dibentuk vektor terhadap sumbu-$x$ positif berlawanan arah jarum jam.
• Kecepatan Miring dengan Sudut $\theta$ terhadap Horizontal:
Komponen Horizontal: $v_x = v \cos\theta$ (kecepatan jelajah mendatar)
Komponen Vertikal: $v_y = v \sin\theta$ (laju naik/turun vertikal)
• Arah Mata Angin pada Koordinat Cartesius:
Timur = $+x$ | Barat = $-x$ | Utara = $+y$ | Selatan = $-y$
Tenggara: Kuadran IV (timur $= +x$ positif, selatan $= -y$ negatif)
• Resultan Arus Sungai / Angin Melintang:
Jika arah gerak tegak lurus terhadap arah arus/angin: $v_{\text{relatif}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$
Dalam bab Vektor, nilai trigonometri segitiga siku-siku digunakan terus-menerus untuk memproyeksikan vektor ke sumbu-$x$ dan sumbu-$y$. Berikut rahasia menghafalnya secara instan dan tidak akan pernah lupa seumur hidup!
Gunakan rumus sakti satu jari: $\text{Nilai} = \frac{1}{2}\sqrt{n}$ dengan $n \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
• Untuk SIN: Hitung jari dari Kiri ke Kanan (Jempol $= 0^\circ$ hingga Kelingking $= 90^\circ$):
$0^\circ \to n=0 \to \mathbf{0}$, $30^\circ \to n=1 \to \mathbf{\frac{1}{2}}$, $45^\circ \to n=2 \to \mathbf{\frac{1}{2}\sqrt{2}}$, $60^\circ \to n=3 \to \mathbf{\frac{1}{2}\sqrt{3}}$, $90^\circ \to n=4 \to \mathbf{1}$.
• Untuk COS: Kebalikan Sin! Hitung jari dari Kanan ke Kiri (Kelingking $= 0^\circ$ hingga Jempol $= 90^\circ$).
• Untuk TAN: Karena $\tan = \frac{\sin}{\cos}$, rumusnya adalah $\mathbf{\frac{\sqrt{\text{jari bawah}}}{\sqrt{\text{jari atas}}}}$.
| Fungsi | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| Sin θ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $1$ |
| Cos θ | $1$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| Tan θ | $0$ | $\frac{1}{3}\sqrt{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | $\infty$ (tak terdefinisi) |
Berikut adalah hasil evaluasi petualangan matematika Anda: